在数值分析中，Gauss 求积公式是一种数值积分方法。
目录
1 基本原理
2 充要条件
3 误差估计
4 例子
5 参考资料
基本原理[]
设有积分
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int_a^b \rho(x) f(x) \mathrm{d}x}
，其中，
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho(x)}
是已知（可积）函数，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是可积函数空间上的一个函数，在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上取节点
a
⩽
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
⩽
b
{\displaystyle a \leqslant x_0 < x_1 < \cdots < x_n \leqslant b}
，考虑求积公式
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (x)f(x)\mathrm {d} x\approx \sum _{k=0}^{n}A_{k}f(x_{k}).}
这里有
2
n
+
2
{\displaystyle 2n+2}
个未知量需要确定。
令
p
k
(
x
)
=
x
k
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
2
n
+
1
{\displaystyle p_k (x) = x^k, k = 0,1,\cdots,2n+1}
代入可求解，得到的公式具有
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
次代数精度。这样的节点称为 Gauss 点，公式称为 Gauss 型求积公式。
充要条件[]
x
k
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
{\displaystyle x_k, k = 0,1,\cdots,n}
为 Gauss 点的充要条件是多项式
ω
(
x
)
=
∏
k
=
0
n
(
x
−
x
k
)
{\displaystyle \omega(x) = \prod_{k=0}^n (x - x_k)}
与任意次数不大于
n
{\displaystyle n}
的多项式
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
带权正交，即
∀
p
(
x
)
∈
R
n
[
x
]
,
∫
a
b
ρ
(
x
)
ω
(
x
)
p
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \forall p(x) \in \R_n [x], \int_a^b \rho(x) \omega(x) p(x) \mathrm{d}x = 0.}
注意到正交多项式族
{
φ
k
(
x
)
}
k
=
0
∞
{\displaystyle \{ \varphi_k (x) \}_{k=0}^\infty}
有性质：任意次数不大于
n
{\displaystyle n}
的多项式
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
必与
φ
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle \varphi_{n+1} (x)}
正交。因此若取
ω
(
x
)
=
φ
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle \omega(x) = \varphi_{n+1}(x)}
，那么
φ
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle \varphi_{n+1} (x)}
的根就是
n
+
1
{\displaystyle n+1}
个 Gauss 点。
误差估计[]
假设同上，设
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
是节点
{
x
k
}
k
=
0
n
{\displaystyle \{ x_k \}_{k=0}^n}
的 Hermite 插值多项式，则有
f
(
x
k
)
=
P
(
x
k
)
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle f(x_k) = P(x_k), k = 0,1,2,\cdots,n}
，那么误差
R
[
f
]
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
−
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
−
∑
k
=
0
n
A
k
P
(
x
k
)
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
ρ
(
x
)
P
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
[
f
(
x
)
−
P
(
x
)
]
d
x
=
f
(
2
n
+
2
)
(
ξ
)
(
2
n
+
2
)
!
∫
a
b
ρ
(
x
)
ω
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \begin{align}
R[f] & = \int_a^b \rho(x) f(x) \mathrm{d}x - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k) \\
& = \int_a^b \rho(x) f(x) \mathrm{d}x - \sum_{k=0}^n A_k P(x_k) \\
& = \int_a^b \rho(x) f(x) \mathrm{d}x - \int_a^b \rho(x) P(x) \mathrm{d}x \\
& = \int_a^b \rho(x) [f(x) - P(x)] \mathrm{d}x \\
& = \dfrac{f^{(2n+2)} (\xi)}{(2n+2)!} \int_a^b \rho(x) \omega^2 (x) \mathrm{d}x.
\end{align}}
第三个等号是因为求积公式#A1是插值型的，代数精度是
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
，因此对
2
n
+
1
{\displaystyle 2n+1}
的多项式
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
精确成立，最后一个等号是 Lagrange 插值的误差。
还可以证明，求积公式#A1的系数均为正数，因此求积公式在有限区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上是数值稳定的。
例子[]
Gauss 求积公式一般先要构造正交的函数序列，这依赖于权函数
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho(x)}
的选择，例如，当
[
a
,
b
]
=
[
−
1
,
1
]
,
ρ
(
x
)
=
1
{\displaystyle [a, b] = [-1, 1], \rho(x) = 1}
时正交函数对应于 Legendre 多项式；当
[
a
,
b
]
=
[
−
1
,
1
]
,
ρ
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle [a, b] = [-1, 1], \rho(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
时正交函数对应于第一类 Chebyshev 多项式，此时
x
k
=
cos
(
2
k
−
1
)
π
2
n
+
2
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
+
1
{\displaystyle x_k = \cos\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+2}, k = 1,2,\cdots,n+1}
，此时
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
1
−
x
2
≈
π
n
+
1
∑
k
=
0
n
f
(
cos
(
2
k
−
1
)
π
2
n
+
2
)
.
{\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{f(x) \mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} \approx \dfrac{\pi}{n+1} \sum_{k=0}^n f\!\left( \cos\dfrac{(2k-1)\pi}{2n+2} \right).}
对于一般情形，则要设法构造多项式。假设有带权内积
(
φ
,
ψ
)
=
∫
a
b
ρ
(
x
)
φ
(
x
)
ψ
(
x
)
d
x
{\displaystyle (\varphi, \psi) = \int_a^b \rho(x) \varphi(x) \psi(x) \mathrm{d}x}
，假设
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
≈
∑
k
=
0
n
A
k
f
(
x
k
)
.
{\displaystyle \int_a^b \rho(x) f(x) \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k).}
我们需要的首先是确定 Gauss 点
x
0
,
x
1
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_0, x_1, \cdots, x_n}
，为此可以使用 Gram-Schmidt 正交化对
p
k
(
x
)
=
x
k
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
+
1
{\displaystyle p_k (x) = x^k, k = 0,1,\cdots,n+1}
，得到
φ
n
+
1
{\displaystyle \varphi_{n+1}}
，再解出它的零点就是 Gauss 点，然后将其代入
p
k
(
x
)
,
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
{\displaystyle p_k(x), k = 0,1,\cdots,n}
和求积公式即可确定
A
k
.
{\displaystyle A_k.}
这样仅需解一个代数方程和线性方程组即可求解答案。
参考资料黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.
函数逼近论（学科代码：1104140，GB/T 13745—2009）
函数插值
Lagrange 插值 ▪ Neville 插值 ▪ 差商和差分 ▪ Newton 插值 ▪ Hermite 插值 ▪ 分段三次多项式插值
函数逼近
最佳一致逼近 ▪ 最佳平方逼近
正交多项式
Chebyshev 多项式和 Clenshaw 递推公式 ▪ Legendre 多项式 ▪ Laguerre 多项式 ▪ Hermite 多项式
数值积分
Newton-Cotes 求积公式 ▪ Gauss 求积公式 ▪ 复化求积公式 ▪ Romberg 算法 ▪ 数值微分
所在位置：数学（110）→ 函数论（11041）→ 函数逼近论（1104140）